TROTAMATES

Un vértice de las matemáticas

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DERIVADAS - EXPONENCIAL

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DERIVADAS
LOGARITMO NEPERIANO
EXPONENCIAL
OTIMIZACION
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Derivada de la función exponencial.

Calculamos la derivada de f(x)=a^x:

displaystyle f'(x)=lim_{hrightarrow0}dfrac{a^{x+h}-a^x}h=lim_{hrightarrow0}dfrac{a^xa^h-a^x}h=displaystyleindent=lim_{hrightarrow0}dfrac{a^x(a^h-1)}h=a^xlim_{hrightarrow0}dfrac{a^h-1}h

Tenemos que calcular este último límite, para ello realizamos el cambio:

boxed{u=a^h-1}~;a^h=u+1~;ln a^h=ln(u+1)~;hln a=ln(u+1)~;boxed{h=dfrac{ln(u+1)}{ln a}}~;h=0rightarrow u=a^0-1=0

Luego:

displaystyle f'(x)=a^xlim_{hrightarrow0}dfrac{a^h-1}h=a^xlim_{urightarrow0}dfrac u{frac{ln(u+1)}{ln a}}=displaystyleindent=a^xlim_{urightarrow0}dfrac{ln a}{frac1uln(u+1)}=a^xlim_{urightarrow0}dfrac{ln a}{ln(u+1)^{1/u}}=displaystyleindent=a^xcdotdfrac{ln a}{lndisplaystylelim_{urightarrow0}(u+1)^{1/u}}=a^xcdotdfrac{ln a}{ln e}~;boxed{f'(x)=a^xcdotln a}

De aquí se deduce también que si f(x)=e^x entonces:

boxed{f'(x)=e^x}



 


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