Indice del artículo
DERIVADAS
LOGARITMO NEPERIANO
EXPONENCIAL
OTIMIZACION
Todas las páginas

Tabla de derivadas

a, n son constantes
f, g son funciones de x

Reglas de derivación

$begin{array}{|c|c|c|}hlinetext{Suma y resta}&(f+g)'=f'+g'&(f-g)'=f'-g'hlinetext{Producto}&(acdot f)'=acdot f'&(fcdot g)'=f'cdot g+fcdot g'hlinetext{Cociente}&(frac fa)'=frac{f'}a~;qquad(frac ag)'=frac{-ag'}{g^2}&(frac fg)'=frac{f'g-fg'}{g^2}hlinetext{Composici'on}&(f(g))'=f'(g(x))cdot g'(x)&hlineend{array}$

Derivadas de funciones

$begin{array}{|l|l|l|}hline&text{Simple}&text{Compuesta}hlinehlinetext{Constante}&(a)'=0&hlinetext{Potencial}&(x^a)'=ax^{a-1}&(f^a)'=af^{a-1}f'hlinetext{Raiz cuadrada}&big(sqrt xbig)'=dfrac1{2sqrt x}&big(sqrt fbig)'=dfrac{f'}{2sqrt f}hlinetext{Exponencial}&begin{array}{l}(e^x)'=e^x(a^x)'=a^xln aend{array}&begin{array}{l}(e^f)'=e^ff'(a^f)'=a^ff'ln aend{array}hlinetext{Logaritmo}&begin{array}{l}(ln x)'=dfrac1x(log_ax)'=dfrac1{xln a}end{array}&begin{array}{l}(ln f)'=dfrac{f'}f(log_af)'=dfrac{f'}{fln a}end{array}hlinetext{Seno}&(text{sen}(x))'=cos(x)&(text{sen}(f))'=cos(f)f'hlinetext{Coseno}&(cos(x))'=-text{sen}(x)&(cos(f))'=-text{sen}(f)f'hlinetext{Tangente (*)}&(text{tg}(x))'=sec^2(x)&(text{tg}(f))'=sec^2(f)f'hlinetext{Arcoseno}&(text{arcsen}(x))'=dfrac1{sqrt{1-x^2}}&(text{arcsen}(f))'=dfrac{f'}{sqrt{1-f^2}}hlinetext{Arcocoseno}&(text{arccos}(x))'=dfrac{-1}{sqrt{1-x^2}}&(text{arccos}(f))'=dfrac{-f'}{sqrt{1-f^2}}hlinetext{Arcotangente}&(text{arctg}(x))'=dfrac1{1+x^2}&(text{arctg}(f))'=dfrac{f'}{1+f^2}hlineend{array}$

Derivada de funciones hiperbólicas

$begin{array}{|l|l|}hlinetext{Simple}&text{Compuesta}hlinehline(text{senh},x)'=cosh x&(text{senh},f)'=cosh fcdot f'hline(cosh x)'=text{senh},x&(cosh f)'=text{senh},fcdot f'hline(tanh x)'=text{sech}^2 x&(tanh f)'=text{sech}^2 fcdot f'hlineend{array}$

donde:

$text{senh},x=dfrac{e^x-e^{-x}}2qquad cosh x=dfrac{e^x+e^{-x}}2$

Otras fórmulas de derivación

Función potencial-exponencial

$boxed{begin{aligned}(f^g)'&=gcdot f^{g-1}cdot f'+f^gcdotln fcdot g'=&=f^gleft(dfrac{gf'}f+g'ln fright)end{aligned}}$

Raíz enésima de una función

$boxed{left(sqrt[n]{f^a}right)'=dfrac{af'}{nsqrt[n]{f^{n-a}}}}$

(*) Igualdades trigonométricas

$sec^2(x)=1+text{tg}^2(x)=dfrac1{cos^2(x)}$

PÁGINAS: 1 2 3

Derivada del logaritmo neperiano de x utilizando la definición

Recordamos que la derivada de una función es por definición el límite:

$boxed{f'(x)=lim_{hrightarrow0}dfrac{f(x+h)-f(x)}h}$

En el caso de que $f(x)=ln x$ :

$displaystyle f'(x)=lim_{hrightarrow0}dfrac{ln(x+h)-ln(x)}h=lim_{hrightarrow0}dfrac{lnleft(frac{x+h}xright)}h==lim_{hrightarrow0}dfrac1hcdotlnleft(1+dfrac hxright)=lim_{hrightarrow0}lnleft(1+dfrac hxright)^{frac1h}==lnlim_{hrightarrow0}left(1+dfrac hxright)^{frac1hcdotfrac xx}=lnleft[lim_{hrightarrow0}left(1+dfrac hxright)^{frac xh}right]^{frac1x}==ln[e]^{lim_{hrightarrow0}frac1x}=lim_{hrightarrow0}dfrac1x=dfrac1xboxed{f'(x)=dfrac1x}$

Derivada del producto de funciones.

Sea $y=fcdot g$ . Nos piden la derivada de y. Comenzamos aplicando logaritmos:

$ln y=ln(fcdot g)~;ln y=ln f+ln g$

Derivamos ambos miembros:

$dfrac1ycdot y'=dfrac{f'}f+dfrac{g'}gy'=dfrac{f'g+fg'}{fg}cdot y$

Dado que $y=fcdot g$ , entonces:

$y'=dfrac{f'g+fg'}{fg}cdot fgboxed{y'=f'g+fg'}$

Derivada de un cociente de funciones.

Sea $y=dfrac fg$ . Nos piden la derivada de y. Comenzamos aplicando logaritmos:

$ln y=lnleft(dfrac fgright)~;ln y=ln f-ln g$

Derivamos ambos miembros:

$dfrac 1ycdot y'=dfrac{f'}f-dfrac{g'}gy'=left(dfrac{f'g-fg'}{fg}right)cdot y$

Dado que $y=dfrac fg$ , entonces:

$y'=left(dfrac{f'g-fg'}{fg}right)cdotdfrac fg~;boxed{y'=dfrac{f'g-fg'}{g^2}}$

Derivada de la función exponencial.

Calculamos la derivada de $f(x)=a^x$ :

$displaystyle f'(x)=lim_{hrightarrow0}dfrac{a^{x+h}-a^x}h=lim_{hrightarrow0}dfrac{a^xa^h-a^x}h=displaystyleindent=lim_{hrightarrow0}dfrac{a^x(a^h-1)}h=a^xlim_{hrightarrow0}dfrac{a^h-1}h$

Tenemos que calcular este último límite, para ello realizamos el cambio:

$boxed{u=a^h-1}~;a^h=u+1~;ln a^h=ln(u+1)~;hln a=ln(u+1)~;boxed{h=dfrac{ln(u+1)}{ln a}}~;h=0rightarrow u=a^0-1=0$

Luego:

$displaystyle f'(x)=a^xlim_{hrightarrow0}dfrac{a^h-1}h=a^xlim_{urightarrow0}dfrac u{frac{ln(u+1)}{ln a}}=displaystyleindent=a^xlim_{urightarrow0}dfrac{ln a}{frac1uln(u+1)}=a^xlim_{urightarrow0}dfrac{ln a}{ln(u+1)^{1/u}}=displaystyleindent=a^xcdotdfrac{ln a}{lndisplaystylelim_{urightarrow0}(u+1)^{1/u}}=a^xcdotdfrac{ln a}{ln e}~;boxed{f'(x)=a^xcdotln a}$

De aquí se deduce también que si $f(x)=e^x$ entonces:

$boxed{f'(x)=e^x}$

pROYECTO:OPTIMIZACIÓN

AUTOR: Manuel Hernández

Introducción a las derivadas, concepto y cálculo de derivadas sencillas. Puntos singulares y su uso en la optimización. Un viaje de máximos y mínimos.