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Potencias. Resumen.
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Exponent game - rules of exponents. This could be fun to do in teams as review.

Expliquemos las potencias:

Propiedades de las potencias

La potencia será la multiplicación sucesiva de la base según su exponente. La base la representaremos con la letra a y el exponente con la letra n. Los niños podrán resolver las potencias con la calculadora de potencias y conocer cada una de sus propiedades para saber su comportamiento.

Las propiedades de una potencia serán aquellas que permitan resolver una potencia por distintos métodos.

Propiedades de las potencias con exponente 0

Cuando las potencias tienen como exponente 0 su resultado siempre será 1. La fórmula de las potencias con exponente 0 será la siguiente:

a⁰=1

Propiedades de las potencias con exponente 1

Las potencias con exponente 1 su resultado siempre será su base. La fórmula de las potencias con exponente 1 tendrá el siguiente aspecto:

a¹=a

Multiplicación con misma base

El producto de dos potencias con la misma base será una potencia con la misma base y el exponente será la suma de los exponentes.

a^mx aⁿ=a^m+ⁿ

División de potencias con misma base

El cociente de dos potencias con misma base es otra potencia de misma base con la diferencia de los exponentes.

a^m: aⁿ=a^m-ⁿ

Multiplicación de potencias con base distinta y mismo exponente

El producto de dos potencias con mismo exponente es otra potencia donde la base es la multiplicación de sus bases y se conserva su exponente.

a^m x aⁿ= (a x b)^m

División de potencias con base distinta y mismo exponente

El cociente de dos potencias que tengan el mismo exponente será otra potencia donde la base es la división de sus bases y se conserva su exponente.

a^m : aⁿ= (a:b)^m

Potencia de una potencia

El resultado será otra potencia con la misma base y el exponente será el producto de los exponentes.

(a^m)ⁿ=a^mxn

Potencia con exponente negativo

La potencia con exponente negativo no se pueden resolver y el exponente deberá pasar a positivo.

$a^{-m} =frac{1}{a^m}25^{-2}=frac{1}{25^2}$

Potencia con exponente fraccionario

Será igual que el radical donde el denominador es el índice de la raíz y el numerador el exponente de la raíz.

$a^{frac{n}{m}} = sqrt[m]{a^{n}} = (sqrt[m]{a})^{n}25^{frac{2}{5}} = sqrt[5]{25^{2}} = (sqrt[5]{25})^{2}$

Potencia con exponente fraccionario de numerador 1

Es igual al radical donde el denominador es el índice de la raíz.

$a^{frac{1}{m}} = sqrt[m]{a}25^{frac{1}{5}} = sqrt[5]{25}$

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Relaciones de ejercicios para hacer

Operaciones con potencias de números con distinta base

Cuando trabajamos sólo con números y tenemos potencias de distinta base, debemos buscar que las potencias tengan la misma base, es decir hay que expresar todos las potencias con la misma base o si no es posible expresar todas las potencias con una sola base, con la mínima cantidad de bases posible.

¿Y cómo expresamos el número en otra base? Pues descomponiendo el número en factores.

Vamos a verlo con un ejemplo muy sencillo:

En esta multiplicación de potencias, en principio no podemos hacer nada, porque tenemos una multiplicación de potencias de distinta base y no podemos sumar sus exponentes.

Pero, el 4 lo podemos descomponer:

Por tanto, en la operación que estamos resolviendo, sustituimos el 4, por su descomposición y de esta forma nos ha quedado una multiplicación de potencias con la misma base:

Antes de multiplicar las potencias, hay que resolver el paréntesis, multiplicando los exponentes:

Ahora ya podemos multiplicar. Mantenemos la base y sumamos los exponentes

Al final, también podemos resolver la potencia.

Veamos otro ejemplo:

como multiplicar potencias de diferente base

En principio, tenemos cuatro bases: 2, 3, 4 y 9.

Buscamos que todas las potencias tengan la misma base o el mínimo número de bases posible. Para ello, debemos descomponer en factores primos los números que se puedan y expresarlos de esta forma en la ecuación.

En este caso podemos descomponer el 4 y el 9, que los indicamos en la ecuación como 2² y 3²:

resta de potencias de diferente base

Nos han quedado dos bases: 2 y 3.

El siguiente paso es eliminar paréntesis, multiplicando los exponentes exteriores por los exponentes interiores:

potencias de bases diferentes

En el numerador tenemos dos potencias con base 2 multiplicándose, por tanto, mantenemos la base y sumamos los exponentes. Hacemos lo mismo en el denominador con dos potencias de base 3:

exponentes de diferente base

Nos ha quedado una división de potencias de base 2 y otra de base 3. Para cada una mantenemos la base y restamos los exponentes:

Y con esto hemos terminado de simplificar la expresión, ya que no tenemos ningún exponente negativo.

Operaciones con potencias de distinta base elevada a otras potencias

Vamos a ver los pasos a seguir cuando tienes que simplificar una operación en la que tienes multiplicaciones y divisiones de distinta base, que además forman parte de otra potencia, como por ejemplo:

potencias con bases diferentes

En primer lugar simplificamos todo lo posible en el interior del paréntesis.

Igual que antes, por un lado simplificamos los números y por otro lado, con cada base x e y, mantenemos las bases y restamos los exponentes:

suma de potencias de diferente base y exponente

Ya no podemos operar más en el interior del paréntesis, por lo que procedemos a resolver el paréntesis.

Para resolver el paréntesis, hay que multiplicar el exponente de fuera, por cada uno de los exponentes que hay en el interior, según esta propiedad:

Al multiplicar exponentes nos queda:

multiplicación de bases diferentes

Para terminar, tenemos que expresar la solución con todos los exponentes positivos.

Tenemos exponentes negativos en el numerador y en el denominador.

Te recuerdo que las potencias con exponente negativo que están en el numerador, pasan al denominador con exponente positivo y viceversa, según esta propiedad:

suma potencias distinta base