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| SUCESIONES Y PROGRESIONES |
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Sucesiones
Una sucesión es un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.
a1, a2, a3 ,..., an
Los números a1, a2 , a3 , ...; se llaman términos de la sucesión.
El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.
El término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.
Determinación de una sucesión
Por el término general
an= 2n-1
Por una ley de recurrencia
Los términos se obtienen operando con los anteriores.
Operaciones con sucesiones
Dadas las sucesiones an y bn:
an= a1, a2, a3, ..., an
bn= b1, b2, b3, ..., bn
Suma con sucesiones:
(an) + (bn) = (an + bn)
(an) + (bn) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ..., an + bn)
Propiedades
1 Asociativa:
(an + bn) + cn = an + (bn + c n)
2 Conmutativa:
an + bn = bn + a n
3 Elemento neutro
(0) = (0, 0, 0, ..)
an + 0 = an
4 Sucesión opuesta
(-an) = (-a1, -a2, -a3, ..., -an)
an + (-an) = 0
Diferencia con sucesiones:
(an) - (bn) = (an - bn)
(an) - (bn) = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3, ..., an - bn)
Producto con sucesiones:
(an) · (bn) = (an · bn)
(an) · (bn) = (a1 · b1, a2 · b2, a3 · b3, ..., an · bn)
Propiedades
1 Asociativa:
(an · bn) · c n = an · (bn · c n)
2 Conmutativa:
an · bn = bn · a n
3 Elemento neutro
(1) = (1, 1, 1, ..)
an · 1 = an
4 Distributiva respecto a la suma
an · (bn + c n) = an · bn + an · c n
Sucesión inversible
Una sucesión es inversible o invertible si todos sus términos son distintos de cero. Si la sucesión bn es inversible, su inversa es:
Cociente
Sólo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es inversible.
Límite de una sucesión
Es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión
Sucesiones convergentes
Son las que tienen límite.
Sucesiones divergentes
Son las sucesiones que no tienen límite finito.
Tipos de sucesiones
Sucesiones monótonas
Sucesiones estrictamente crecientes
Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.
an+1 > an
Sucesiones crecientes
Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.
an+1 ≥ an
Sucesiones estrictamente decrecientes
Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.
an+1 < an
Sucesiones decrecientes
Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.
an+1 ≤ an
Sucesiones constantes
Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales, an= k.
an = an+1
Sucesiones acotadas inferiormente
Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.
an ≥ k
A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo .
Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.
Toda sucesión acotada inferiormente es creciente.
Sucesiones acotadas superiormente
Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de la sucesión.
an ≤ k'
A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.
Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.
Toda sucesión acotada superiormente es monótona decreciente.
Sucesiones acotadas
Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.
k ≤ an ≤ K'
Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
Término general de una progresión aritmética
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 + (n - 1) · d
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak + (n - k) · d
Interpolación de términos
Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Suma de términos equidistantes
Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos.
ai + aj = a1 + an
a3 + an-2 = a2 + an-1 = a1 + an
Suma de n términos consecutivos
Progresiones geométricas
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.
Término general de una progresión geométrica
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 · rn-1
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak · rn-k
Interpolación de términos
Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.
Suma de n términos consecutivos
Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente
Producto de dos términos equidistantes
Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.
ai . aj = a1 . an
a3 · an-2 = a2 · an-1 = ... = a1 · an
Producto de n términos equidistantes
Término general de una sucesión
1. Comprobar si es una progresión aritmética.
2. Comprobar si es una progresión geométrica.
3. Comprobar si los términos son cuadrados perfectos.
También nos podemos encontrar con sucesiones cuyos términos son números próximos a cuadrados perfectos.
4. Si los términos de la sucesión cambian consecutivamente de signo.
Si los términos impares son nega
Sucesiones
Una sucesión es un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.
a1, a2, a3 ,..., an
Los números a1, a2 , a3 , ...; se llaman términos de la sucesión.
El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.
El término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.
Determinación de una sucesión
Por el término general
an= 2n-1
Por una ley de recurrencia
Los términos se obtienen operando con los anteriores.
Operaciones con sucesiones
Dadas las sucesiones an y bn:
an= a1, a2, a3, ..., an
bn= b1, b2, b3, ..., bn
Suma con sucesiones:
(an) + (bn) = (an + bn)
(an) + (bn) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ..., an + bn)
Propiedades
1 Asociativa:
(an + bn) + cn = an + (bn + c n)
2 Conmutativa:
an + bn = bn + a n
3 Elemento neutro
(0) = (0, 0, 0, ..)
an + 0 = an
4 Sucesión opuesta
(-an) = (-a1, -a2, -a3, ..., -an)
an + (-an) = 0
Diferencia con sucesiones:
(an) - (bn) = (an - bn)
(an) - (bn) = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3, ..., an - bn)
Producto con sucesiones:
(an) · (bn) = (an · bn)
(an) · (bn) = (a1 · b1, a2 · b2, a3 · b3, ..., an · bn)
Propiedades
1 Asociativa:
(an · bn) · c n = an · (bn · c n)
2 Conmutativa:
an · bn = bn · a n
3 Elemento neutro
(1) = (1, 1, 1, ..)
an · 1 = an
4 Distributiva respecto a la suma
an · (bn + c n) = an · bn + an · c n
Sucesión inversible
Una sucesión es inversible o invertible si todos sus términos son distintos de cero. Si la sucesión bn es inversible, su inversa es:
Cociente
Sólo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es inversible.
Límite de una sucesión
Es el número al cual se van aproximando los términos de una sucesión
Sucesiones convergentes
Son las que tienen límite.
Sucesiones divergentes
Son las sucesiones que no tienen límite finito.
Tipos de sucesiones
Sucesiones monótonas
Sucesiones estrictamente crecientes
Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.
an+1 > an
Sucesiones crecientes
Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.
an+1 ≥ an
Sucesiones estrictamente decrecientes
Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.
an+1 < an
Sucesiones decrecientes
Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.
an+1 ≤ an
Sucesiones constantes
Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales, an= k.
an = an+1
Sucesiones acotadas inferiormente
Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.
an ≥ k
A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo .
Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.
Toda sucesión acotada inferiormente es creciente.
Sucesiones acotadas superiormente
Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de la sucesión.
an ≤ k'
A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.
Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.
Toda sucesión acotada superiormente es monótona decreciente.
Sucesiones acotadas
Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.
k ≤ an ≤ K'
Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
Término general de una progresión aritmética
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 + (n - 1) · d
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak + (n - k) · d
Interpolación de términos
Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Suma de términos equidistantes
Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos.
ai + aj = a1 + an
a3 + an-2 = a2 + an-1 = a1 + an
Suma de n términos consecutivos
Progresiones geométricas
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.
Término general de una progresión geométrica
1 Si conocemos el 1er término.
an = a1 · rn-1
2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak · rn-k
Interpolación de términos
Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.
Suma de n términos consecutivos
Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente
Producto de dos términos equidistantes
Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.
ai . aj = a1 . an
a3 · an-2 = a2 · an-1 = ... = a1 · an
Producto de n términos equidistantes
Término general de una sucesión
1. Comprobar si es una progresión aritmética.
2. Comprobar si es una progresión geométrica.
3. Comprobar si los términos son cuadrados perfectos.
También nos podemos encontrar con sucesiones cuyos términos son números próximos a cuadrados perfectos.
4. Si los términos de la sucesión cambian consecutivamente de signo.
Si los términos impares son negativos y los pares positivos: Multiplicamos an por (-1)n.
Si los términos impares son positivos y los pares negativos: Multiplicamos an por (-1)n-1.
5. Si los términos de la sucesión son fraccionarios (no siendo una progresión).
Se calcula el término general del numerador y denominador por separado.
tivos y los pares positivos: Multiplicamos an por (-1)n.
Si los términos impares son positivos y los pares negativos: Multiplicamos an por (-1)n-1.
5. Si los términos de la sucesión son fraccionarios (no siendo una progresión).
Se calcula el término general del numerador y denominador por separado.
Hallar el término general de las siguientes sucesiones:
Soluciones:1
El numerador es constante.
El denominador es una progresión aritmética de d= 1.
2
El numerador es una progresión aritmética con una d= 1.
El denominador es una progresión aritmética con una d = 1.
3
En esta sucesión se han simplificado algunas fracciones.
El numerador es una progresión aritmética con una d= 1.
El denominador es una progresión aritmética de d= 1.
4
Si prescindimos del signo es una progresión aritmética con una d= 1.
Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por (-1)n.
5
Si prescindimos del signo, el numerador es una progresión aritmética con una d= 1.
El denominador es una progresión aritmética de d= 1.
Por ser los términos pares los negativos multiplicamos por (-1)n+1.
6
Es una sucesión oscilante.
Los términos impares forman progresión aritmética con una d= 1, si no tenemos en cuenta los términos pares.
El denominador de los términos pares forman progresión aritmética con una d= 1.
7
Si prescindimos del signo y del exponente tenemos una progresión aritmética con una d= 1.
Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado.
Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por (-1)n.
8
Es una sucesión oscilante.
El numerador de los términos impares forman progresión aritmética con una d= 1, si no tenemos en cuenta los términos pares.
Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término general al cuadrado.
El primer sumando del denominador (prescindiendo del cuadrado) es una progresión aritmética de d= 1 (sin contar los términos pares).
El término general lo tenemos que elevar al cuadrado y sumarle 3.
Los términos pares forman una sucesión constante.
