TROTAMATES

Varios temas en recta para Cálculo Aplicado Matemáticas Finitas & Cálculo Aplicado Tema: Funciones Inversas

Página principal Ejercicios para este tema Índice de texto en recta Todo para cálculo aplicado Todo para matemáticas finitas Todo para matemáticas finitas & cálculo aplicado English

Utilidades: Todas las utilidades | Utilidad de gráficas de Java | Evaluador y graficador de funciones | Gráficas de Excel | Graficador libre de Macintosh

 

 

Dominio y rango | Funciones uno a uno | Funciones inversas | Gráficandor de funciones inversas | Encontrar funciones inversas algebraicas | Funciones logarítmicas y exponenciales

Dominio y rango

 

A veces sucede que una función "deshace" lo que otra función hace. Por ejemplo, si

y

, entonces

dobla el número de entrada, mientras que g hace lo opuesto. Referiremos a

y

como funciones inversas. Pero antes de que podamos discutir propiamente las funciones inversas, primero necesitaremos revisar lo que se entiende por el dominio de una función, discutir el rango de una funcción, y analizar la manera en la que las funciones interactúan entre sí.

Primero, revisamos el concepto del "dominio" de el libro.

 

Dominio de una función Si f es una función, entonces el dominio de f es el conjunto de todos los números reales x para que f(x) esá definida. A veces el dominio de una función se especifica explícitamente. Si no se especifica ningún dominio para la función f , tomamos como el dominio el conjunto de todos los números x para que f(x) tenga sentido. Este es "el dominio más grande posible" aveces es llamado el dominio natural.   Ejemplos rápidos 1. Sea N(t) el número total de quemadores CD fabricada por tu fabrica electrónica durante t meses desde que comenzó la operación. La fábrica tiene una capacidad máxima de 1000 por mes.   Un dominio apropiado para N es Selecciona una Todos los números reales [0, +infinito) [0, 1000] [-1000, 1000] Ninguna de las anteriores   2. Sea f(x) = (x − 2)0.5   El dominio natural de f es Selecciona una Todos los números reales Todos los números reales negativos [-2, +infinito) [2, +infinito) {3, 4, 5, 6, ...} [-3, +infinito) [3, +infinito) Ninguna de las anteriores   3.Sea g(x) =  4 x + 5   El dominio natural de g es Seleciona una Todos los números reales Todos los números reales distintos a cero (5, +infinito) (-5, +infinito) [0, +infinito) [5, +infinito) [-5, +infinito) Todo los números reales excepto 5 Todo los números reales excepto -5

Relacionado con el concepto anterior es el concepto del "rango" de una función.

 

Rango de una funcción Si f es una función, entonces el rango de f es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) .   Si pensamos en una función como una maquina -- entra x , sale f(x) -- entonces el rango de f es el conjunto de todos números posibles que salen de la maquina.   Ejemplos rápidos 1. El rango de la función f dada por f(x) = 2x consiste en todos los valores posibles de f(x) ,  como f(1) = 2 , f(1/2) = 1 , f(−3) =  − 6 ,  y así sucesivamente. En realidad, podemos conseguir cualquier número que se nos antoje. Por ejemplo, para obtener −600, simplemente tome f(−300) . Más presisamente, para tener un valor arbitrario de y, sólo tomamos f(y/2). Por lo tanto, el rango de f es el conjunto de todos los números reales.     2. Sea f(x) = x2. Tratando primero con unos valores, f(0) = 0 , f(1) = 1 , f(−1) = 1, ... parece que sólo podemos conseguir números negativos de esta manera. En realidad, podemos conseguir cualquier número negativo que nos guste: si y≥0, entonces f(y0.5) = (y0.5)2 = y. Entonces el rango de f es [0, + ∞) -- el conjunto de todos números reales negativos.     3. Sea f(x) = x2 + 1 .   El rango de f es Selecciona una Todos los números reales Todos los números reales negativos [0, +infinito) [1, +infinito) [-1, +infinito) Todos los números reales excepto 1 Todos los números reales excepto -1

 

Aquí hay una manera gráfica para obtener el rango de una función. Como un ejemplo, vamos a usar

, cuya gráfica se muestra a continuación. El rango de

consiste en todos los valores posibles de

que podamos obtener. Esto equivale a hallar todas las alturas en la gráfica de

. Para hallar esta gráfica, imagina que un par de puertas de ascensor cierren de los dos lados y aplastan la gráfica en el eje

.  Entonces el resultado de "aplastar" la gráfica indica el rango de la función.

 

 

Mirando la gráfica "aplastánda", observamos que cubre el intervalo

en el eje

, confirmando que el rango es

 

---

 

Ejemplo 1 Encontrando el rango de una función

 

Encuentra el rango de la función

g(x) = x + 1/x

.

 

Solución
En lugar de intentar hacerlo algebraicamente, utilizamos el método de las puertas de ascensor, como se muestra en la figura anterior. Aquí está la gráfica de

g

. Trate de imaginar como se verá la gráfica aplastándose en el eje

y

antes de presionar el botón!

El rango de g es

Selecciona una Todos los números reales Todos los números reales excepto 0 {..., -4, -3, -2, 2, 3, 4, ...} (-infinito,0) unión (0,+infinito) (-infinito,-2) unión (2,+infinito) (-infinito,-2] unión [2,+infinito) {0}

 

Antes de seguir... Auque graficadoras no tienen puertas de ascensor para aplastar la grafica para nosotros, puedes utilizar uno que se aproxime al efecto de aplastamiento como el siguiente: Trata de trazar la gráfica de

g(x) = x + 1/x

con el siguiente rango de

x:

0.1≤x≤100,

pero manteniendo el rango de y bastante pequeño - e.g.

−5≤

y

≤5.

El efecto será como si la gráfica se aplastara cerca del eje y, mostrando el rango de la función claramente (suponiendo que la calculadora dibuja con suficiente precisión). (Podría probar en la Gráficador Excel o una de las otras graficadoras en la lista en el inicio de página.) Puede no ser una buena idea para probar el rango -100 ≤ x ≤ 100, ya que la mayoría de las graficadoras tratarán de conectar las dos piezas de la gráfica.

 

Inicio de página

 

---

Funciones uno a uno

 

Vimos en la sección 1.2 en el libro de texto que una gráfica en el plano

es la gráfica de una función con variable

independiente si pasa la "la prueba de la recta vertical". Es decir, si cada recta vertical atraviesa por lo máximo un punto en la gráfica.

Ahora imagina que tenemos una gráfica de una función que atraviesa la "la prueba de la recta horizontal". En otras palabras, suponga que cada recta vertical atraviesa por lo máximo un punto en la gráfica. La siguiente figura muestra las gráficas de algunas funciones, una que atraviesa la prueba de recta horizontal, y una que no atraviesa. Las que atraviesan son inyectivas. (Para una definición algebraica, ver a continuación.)

Uno-a-uno Cada recta horizontal atraviesa por lo máximo un punto en la gráfica.		No uno-a-uno Algunas rectas horizontales atraviesan más de un punto en la gráfica.

Uno-a-uno No uno-a-uno	Uno-a-uno No uno-a-uno	Uno-a-uno No uno-a-uno

Para interpreta que significa algebraicamente al ser una función uno-a-uno, ve la suguiente gráfica de una función que no es uno-a-uno.

 

Primero, nota que la recta horizontal a través de

atraviesa por dos puntos:

y

Otra manera de decir esto es que

Similarmente,

y asi tenemos diferentes valores-

dándonos el mismo valor para

También,

 

Esto no sucede en el caso de una función uno-a-uno; no puede suceder que

para dos diferentes valores-

y

Es por esta razón que llamamos a tal función uno-a-uno. (A las funciones uno-a-uno también les llamadas inyectivas.)

 

 

Función Uno-a-Uno Una función f es uno-a-uno si nunca resulta un a ≠ b, pero f(a) = f(b). Equivalentemente, las función uno-a-uno son aquellas funciones cuyas gráficas pasan la prueba de la recta horizontal: cada recta horizontal atraviesa por lo máximo un punto de la gráfica.

Ejemplo 2 Determinar si una función es uno-a-uno

¿Cuál de las siguientes funciones es uno-a-uno?

(a)
f(x) = 4 − x2

(b)
g(x) = x3

(c)
h(x) = 4 − x2,
con el dominio
[0, + ∞)

Solución
Todo lo que tenemos que hacer es dibujar la gráfica y decidir cuales de ellas pasan la prueba de la recta horizontal.

(a) La gráfica de f(x) = 4 − x2 falla la prueba de la recta horizontal, ya que la recta y = 0 atraviesa por dos puntos (−2, 0) y (2, 0) en la gráfica. En otras palabras, f(−2) = f(2) = 0, por lo tanto, esta función no es uno-a-uno.

 

(b) La función g(x) = x3 es	Uno-a-uno No uno-a-uno
(c) La función h(x) = 4 − x2 con dominio [0, + ∞) es	Uno-a-uno No uno-a-uno

 

 

Inicio de página

---

Funciones inversas

 

Suponga que tomas un número

dóblelo y después divídelo a la mitad. Obtenemos nuevamente

En cierto modo, dividir a la mitad un número es el proceso inverso de dóblarlo. De la misma manera, si comienzas con

y lo elevas a la tercera potencia, y después tomas la raíz cúbica de la respuesta, obtienes nuevamente

Así tomando la raíz cúbica de un número es el proceso inverso de elevarlo a la tercera potencia.  Expresemos estas situaciones simples en términos de funciones.

Ejemplo 3 Composición de funciones inversas

 

Sea

(la función de multiplicar por dos), y sea

(la función de divir en dos). Calcular

y

Solución
Para evaluar expresiones como estas, comenzamos desde el interior y trabajamos hacia el exterior:

g(f(x))	=	g(2x)		Sustituimos f(x) = 2x
	=	2x 2		Porque g(a) = a/2
	=	x

Also,

f(g(x))	=	f x 2		Sustituimos g(x) = x/2
	=	2 x 2		Porque f(a) = 2a
	=	x

 

De este modo,

y

Esta es la manera de decir que la función multiplicas por dos y la función que divides por dos son lo "contrario" de una a otra. Formalmente, nos referimos a

y

como funciones inversas.

 

Antes de seguir...
Aquí está una buena manera de visualizar lo que está sucediendo. Ya que

significa "primero aplica

y después aplica

" podemos pensar en esto como resultado de

seguida por

Lo siguiente es una ilustración de este proceso.

 

Vea si puedes ilustrar el proceso correspondiente para

---

 

Funciones inversas Las funciones f y g son llamadas funciones inversas si:   g(f(x)) = x para cada x en el dominio de f, y f(g(x)) = x para cada x en el dominio de g.   Cúando f y g son funciones inversas, escribimos g(x) como f−1(x).   Nota Para que se defina g(f(x)), también debe ser el caso que f(x) es el dominio de g para cada x en el dominio de f. Similarmente, para que se defina f(g(x)), este debe ser el caso de que g(x) esta en el dominio de f para cada x en el dominio de g.   Ejemplos 1. Vimos anteriormente que f(x) = 2x y g(x) = x/2 son funciones inversas. De este modo, f−1(x) = g(x) = x/2.   2. Sea f(x) = x3 + 1 y g(x) = (x − 1)1/3. Entonces g(f(x)) = g(x3 + 1) = [(x3 + 1) − 1]1/3 = (x3)1/3 = x f(g(x)) = f( Selecciona una x^(3+1) x^3+1 x^(3+1) x^3 x-1^(1/3) (x-1)^1/3 (x-1)^(1/3) ) = Selecciona una (x-1)^(1/3)^(3+1) ((x-1)^(1/3))^3+1 (x-1)^(1/3)^(3+1) x^3+1^(1/3) x^3+1-1^(1/3) (x-1)^1/3 (x^3+1-1)^(1/3) = x 3. Sea f(x) = x2 + 1, con dominio [0, + ∞) -- el conjunto de todos los números reales negativos. La inversa de f es (Comprobar por computadora f(g(x)) y g(f(x)). Selecciona una x^0.5 + 1 (x+1)^0.5 (x-1)^0.5 x^0.5 - 1 x^2-1 (x-1)^2

 

Inicio de página

---

Dibujar las gáaficas de funciones inversas

 

P ¿Cómo son relacionadas las gráficas de una función y la de su inversa?
R Ve la figura que muestra la gráfica de

y su inversa,

 

 

Tambien incluimos la gráfica de

para mostrar la simetría. Pretende que se agarres los dos extremos de la recta

y voltees la porción del plano de coordenadas para que el eje

termino sobre la posición del eje

original. Entonces la gráfica de

terminaría como la gráfica de

En otras palabras:

La gráfica de
f−1
se obtiene de la gráfica de
f
voltear sobre la recta
y = x
a través de 180 grados.

 

También se debe tener en cuenta cualquier otra cosa de la gráfica: El rango de

es

y el dominio de

es también

Esto es verdad por lo general:

El dominio de f-1 es el mismo que el rango de f, y vise-versa.

 

(Nota, por ejemplo,

es un punto en la gráfica de

y el punto correspondiente en la gráfica de

es

Esta es la forma en que los puntos individuales de las dos gráficas corresponden: Intercambiamos las coordenadas para ir de la gráfica de

a la gráfica de

 

P ¿Por qué es así?
R Supongamos que las funciones inversas que estamos examinando se llaman

y

Entonce sus gráficas son las gráficas de las ecuaciones

y

Considera la ecuación

por un momento. Si aplicamos

a ambos lados, obtenemos

en otras palabras,

Por lo tanto, un punto en la gráfica de

satisface la ecuación

En otras palabras, es un punto en la gráfica de

si el eje

y  eje

se intercambian. Esto significa que la gráfica de

es la misma gráfica de

pero los papeles de

e

son intercambiados. Una manera fácil de intercambiar a

e

consiste en voltear el plano de coordenadas sobre la recta

como se muestra a continuación.

 

 

P ¿Tienen inversas todas las fuciones?
R No. Piensa cómo la gráfica de una función se relaciona con la gráfica de su inversa. Si la función inversa exista, su gráfica se debe obtiener de la gráfica de la función original por voltearla sobre la recta

Ahora, la gráfica que resulta debe ser la gráfica de una función, por lo tanto debe pasar la prueba de recta vertical. Pero las rectas verticales corresponden a rectas horizontales en la operación de voltear. De este modo, para que pase la gráfica de la inversa la prueba de la recta vertical, debería ser el caso que la gráfica de la función original pase la prueba de la recta horizontal . Esto equivale a decir que la función original ¡debe ser uno-a-uno si quiere tener una inversa!

 

P ¿Tienen inversas todas las funciones uno-a-uno?
A Si. Si

es uno-a-uno, entonces lo que resulta de la operación de voltear es una gráfica que pasa la prueba de la recta vertical, y por lo tanto es la gráfica de una función. Piensa un poco para convencerte de que esta función deshace lo que hizo la función

-- en otras palabras, que la nueva función es la inversa de

Aquí está un resumen de lo que hemos aprendido hasta ahora.

 

Dubujar la gráfica de la inversa de una función uno-a-uno Si f es una función uno-a-uno, entonces tiene una inversa f−1. Si f no es uno-a-uno, entonces no tiene una inversa. El dominio de f−1 es el mismo que rango que el de f; el rango de f−1 es el mismo que el dominio de f. Para obtener la gráfica de f−1 desde la de f, voltea la gráfica de f sobre la recta y = x, para que el eje x es sobrepuesto en el viejo eje y, y vise-versa. La gráfica obtenida de esta manera es entonces la de f−1. Puntos en la gráfica de f−1 se obtiene a partir de los puntos correspondientes en al gráfica de f intercambiando las coordenadas x e y.

 

 

Inicio de página

---

Hallar funciones inversas algebraicamente

 

P Se puede obtener la gráfica de

volteando la gráfica de la función uno-a-uno

sobre la recta

Esta es una manera graficamente para obtener la inversa. ¿Hay una forma algebraicamente de hacerlo? En otras palabras, si me dan una fórmula para

¿como obtendría la formula para

?
R Esta pregunta se contesta con el ejemplo siguiente.

Ejemplo 4 Hallar la inversa de una función

 

Halla la inversa de la función

 

Solución
Primero, debemos comprobar que esta función es uno-a-uno. Su gráfica es la gráfica de

desplazada 2 unidades hacia arriba. Para convencerte de que pasa la prueba de la recta horizontal, dibújala en la Función Evaluador & Graficador o Graficador Excel. Alternativamente, presione aquí para ver una imagen de la gráfica. Por lo tanto la función

es uno-a-uno, y por lo tanto tiene una inversa.

 

Aquí esta un método de dos pasos para encontrar la inversa:

1. Escriba
   y = f(x)
   y despeja a
   x.
   
   Aquí,

   y = x1/3 + 2

   que se da:

   x1/3 = y − 2,

   y por lo tanto

   x = (y − 2)3.

2. Intercambia
   x
   e
   y
   en la ecuación resultante. La función resultante de
   x
   es la inversa.
   Intercambiando
   x
   e
   y
   da

   y = (x − 2)3.

   Por lo tanto, la función inversa es

   f−1(x) = (x − 2)3.

 

Antes de seguir... Este proceso produce al inverso debido a la discusión anterior en la representación gráfica de una función inversa : la ecuación asociada de la inversa de la función

es la curva

pero con

e

intercambiados. De este modo, para ver la forma de esta ecuación, debes escribirlo en la forma

que explica por qué despejamos a

 

---

 

Nota
Este proceso no funcionará para una función que no es uno-a-uno. Por ejemplo, cuando tratemos de resolver

para

tenemos dos soluciones posibles;

y

En este caso, la dada función

no es invertible; si vemos su gráfica (una parábola) y voleamos sobre la recta

obtendremos una curva (una parábola acostada a un lado) que no es la gráfica de una función, ya que falla la prueba de recta vertical. Alternativamente, la gráfica de

falla la prueba de la recta horizontal.

Aquí está uno para que puedas participar.

 

Ejemplo 5 Hallar la inversa de una función

 

Halla la inversa de una función

• x =

  f−1(x) =

  El rango de f es	Selecciona una (-1, +infinito) (2, +infinito) [-1, infinito] [2, infinito] Todos los números reales
  El dominio de f−1 es	Selecciona una (-1, +infinito) (2, +infinito) [-1, infinito] [2, infinito] Todos los números reales

  y = 2x
  x = log2y.
  f−1(x) = log2x.
  logb(bx) = x
  blogbx = x,
f(x) = 
1 (x + 1)3
+ 2

 

con dominio
(−1, + ∞).

 

Solución
Como un primer paso, reemplaza "
f(x)
" por
y,
para obtener

 

y = 
1 (x + 1)3
+ 2

 

Ahora despejar a
x
en la ecuación:

 

Finalmente, reemplaza
y
por
x
para obtener la fórmula para la inversa:

 

Aquí están las gráficas de
f
y su inversa.

 

Gráfica de f	Gráfica de f−1	Ambas gráficas

 

 

Inicio de página


---

Funciones logarítmicas y exponenciales

 

Aquí está la gráfica de la función exponencial
f(x) = 2x.

 



Para obtener su inversa, escribimos

 

y despejamos a

x.
Pero hacer esto es na damas que escribir la ecuación anterior en forma logarítmica:

 

 

 

Por lo tanto, la inversa de la función exponencial
f(x) = 2x
es

 

 

Aquí están las gráficas de
f
y
f−1
en el mismo conjunto de ejes.

 



La relación entre las funciones logarítmicas y exponenciales por supuesto no depende de la base 2, y tenemos el siguiente resultado más general.

 

Funciones logarítmicas y exponenciales Las funciones f(x) = bx y g(x) = logbx son funciones inversas. El dominio de f(x) = bx es el conjunto de todos los números reales, y el dominio de g(x) = logbx es (0, + ∞)   Las siguientes identidades se derivan de la relación inversa entre f y g. logb(bx) = x g(f(x)) = x blogbx = x f(g(x)) = x   En particular, podemos elegir la base b para que sea e o 10 y obtener: ln(ex) = x Base e eln x = x Base e log(10x) = x Base 10 10log x = x Base 10

P ¿Hay una forma directa de ver por qué esas identidades son verdaderas?
R Ve la primera identidad,

 

 

El lado izquierdo,
logb(bx),
significa que la potencia en la que se debe elevar
b
para obtener
bx,
y esto es obviamente la potencia de
x.
En cuanto a la segunda identidad,

 

el lado izquierdo es, en palabras,

b
elevado a la potencia a lo que se debe elevar
b
para obtener
x.
Seguramente esto le debe dar
x!
(Es como decir que "El nombre de la persona cuyo nombre es Earl, es Earl!")

 

Ahora puede seguir y probar el conjunto de ejercicios para este tema.